متطابقة بوزو

ميّز عن مبرهنة بوزو.

في الحسابيات المعيارية، متطابقة بوزو هي معادلة ديوفنتية خطية :

$a.x+b.y=d$

حيث $a,b,x,y,d\in \mathbb {Z}$.

أعلن كلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك هذه المبرهنة للمرة الأولى في كتابه Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres، المطبوع في ليون سنة 1612.و خلال القرن 18م، عمم الرياضياتي إيتيين بوزو هذه النتيجة، و خاصة للحدوديات.

متطابقة بوزو في Z

مبرهنة بوزو

مبرهنة- ليكن a و b عددين صحيحين، إذا كان d هو قاسمهما المشترك الأكبر فإنه يوجد عددان صحيحان x و y بحيث x.a+y.b=d

و يكون، a و b أوليان فيما بينهما إذا و فقط إذا وجد عددان صحيحان x و y بحيث x.a+y.b=1.

البرهان- ليكن $D=\mathbb {N} ^{*}\cap \{xa+yb;(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\}$

$D$ جزء غير فارغ من $\mathbb {N}$، إذن فهو يقبل أصغر عنصر $d=ua+vb>0$.القسمة الإقليدية ل $a$ على $d$ تعطي $a=q.(ua+vb)+r$ و $0\leq r<d$.و منه $r=a.(1-uq)-vqb$.

بافتراض أن $r\neq 0$، سيكون $r\in D$ و $r<d$، و هذا مستحيل ( $d$هو أصغر عنصر ل$D$).هكذا $r=0$ و $d$ يقسم $a$.بالمثل $d$ يقسم $b$. إذن $d$ قاسم مشترك ل $a$ و $b$.و في النهاية، إذا كان $c$ قاسما مشتركا ل $a$ و $b$، فهو يقسم $ua+vb=d$، إذن $d$ هو القاسم المشترك الأكبر ل $a$ و $b$.

تعطى الأعداد الصحيحة x و y أعلاه بخوارزمية إقليدس الممددة؛ وهي ليست وحيدة.

على سبيل المثال، فالقاسم المشترك الأكبر ل 12 و 42 هو 6، و نستطيع كتابة

$(-3).12+1.42=6$

و أيضا

$4.12+(-1).42=6$

انطلاقا من زوج حل$(x_{0},y_{0})$، يمكن الحصول على كل الحلول الأخرى بتغيير $k$:

$a.\left(x_{0}-k.{b \over d}\right)+b.\left(y_{0}+k.{a \over d}\right)=d$

تطبيقات

يمكن استعمال مبرهنة بوزو لبرهان مبرهنة غاوس.

تعميمات

مبرهنة- لتكن $a_{n},\dots ,a_{1}$ أعدادا صحيحة.يكون $d$ قاسمها المشترك الأكبر إذا و فقط إذا وجدت أعداد صحيحة حيث :

$x_{1}.a_{1}+\cdots +x_{n}.a_{n}=d$.

و تكون، $a_{n},\dots ,a_{1}$ أولية فيما بينها إذا و فقط إذا وجدت أعداد صحيحة $x_{n},\dots ,x_{1}$ حيث :

$x_{1}.a_{1}+\cdots +x_{n}.a_{n}=1$.

بعبارة أخرى، فإن القاسم المشترك الأكبر ل$a_{n},\dots ,a_{1}$ هو أصغر عدد صحيح يمكن كتابته في شكل تأليفة خطية، بمعاملات صحيحة، ل$a_{n},\dots ,a_{1}$.

متطابقة بوزو في [Z[X

مبرهنة- لتكن $(P_{i})_{i\in I}$عائلة حدوديات من $\mathbb {K} [X]$، يكون $\Delta$قاسمها المشترك الأكبر إذا و فقط إذا وجدت عائلة حدوديات $(A_{i})_{i\in I}$من $\mathbb {K} [X]$بحيث$\Delta =\sum _{i\in I}A_{i}P_{i}$.

و تكون الحدوديات $(P_{i})_{i\in I}$أولية فيما بينها إذا و فقط إذا وجدت عائلة حدوديات $(A_{i})_{i\in I}$من $\mathbb {K} [X]$بحيث$1=\sum _{i\in I}A_{i}P_{i}$.

التمديد إلى حلقات أساسية كيفما كانت

متطابقة بوزو يمكن أن تكتب ليس فقط في حلقة الأعداد الصحيحة، و لكن أيضا في كل حلقة أساسية أخرى. هذا يعني أنه إذا كانت $A$حلقة أساسية، و $a$و $b$ عنصران من $A$،و $d$قاسم مشترك أكبر ل $a$و $b$فإنه توجد عناصر $x$و $y$في $A$بحيث :

$ax+by=d$

في حلقة أساسية، قاسم مشترك ل $a$ و $b$ هو مولد ل $aA+bA$، متطابقة بوزو هي نتيجة لهذا التعريف.

انظر أيضا

• المبرهنة الأساسية في الحسابيات
• موضوعة أقليدس

مراجع

Identité de Bézout-Wikimédia par moulin.

وصلات خارجية

This article "متطابقة بوزو" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:متطابقة بوزو. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

<addthis />