متفاوتة مثلثية

في الرياضيات، المتفاوتة المثلثية هي متفاوتة مفادها أن المسار المباشر هو الأقصر.

في الهندسة

في المستوى الإقليدي،ليكن المثلث ABC.إذن فالأطوال AC ،AB و BCتحقق المتفاوتة:

$AB\leq AC+CB$ ؛

و هناك خاصيتان تتممان هذه المفاوتة:

• $|AC-CB|\leq AB$

• $AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]$.

من أجل الأعداد العقدية

باستعمال تمثيل عقدي للمستوى الاقليدي، نحصل على هذه الصياغة المكافئة:

من أجل $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$، لدينا:

• $|~|x|-|y|~|\leq |x+y|\leq |x|+|y|$.

• $|x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2},\ \lambda x=\mu y$.

براهين

لازمة

من أجل $z\in \mathbb {C}$:

• ${Re(z)}\leq |z|$.

• ${Re(z)}=|z|\Leftrightarrow z\in \mathbb {R} _{+}$.

البرهان

ليكن $z\in \mathbb {C}$ و $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ حيث $z=a+ib$

نعلم، ${Re(z)}\leq |{Re(z)}|={\sqrt {a^{2}}}$.

لدينا ${a^{2}}\leq {a^{2}}+{b^{2}}$، لأن ${b^{2}}\geq 0$ ،${\sqrt {a^{2}}}\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=|z|$.

و منه ${Re(z)}\leq |z|$.

يوجد التساوي عندما ${Re(z)}=|{Re(z)}|$، يعني عندما يكون a موجبا، و عندما$|{Re(z)}|^{2}=|z|^{2}$ يعني عندما b=0.

الأعداد العقدية

ليكن $(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}$.

• متفاوتات.

$|x+y|^{2}=|x|^{2}+|y|^{2}+2{Re(x{\bar {y}})}$

و الحال أن ${Re(x{\bar {y}})}\leq |x{\bar {y}}|=|x||y|$ حسب اللازمة.

إذن $|x+y|^{2}\leq |x|^{2}+|y|^{2}+2|x||y|=(|x|+|y|)^{2}$.

و هكذا $|x+y|\leq |x|+|y|$.

نضع $x'=-x$ و $y'=x+y$.

مما سبق، لدينا $|x'+y'|\leq |x'|+|y'|$، يعني أن $|y|\leq |-x|+|x+y|$.

إذن $|y|-|x|\leq |x+y|$

بالمثل، $|x|-|y|\leq |x+y|$

في النهاية، $|~|x|-|y|~|\leq |x+y|\leq |x|+|y|$.

حالة التساوي

نفترض أن $|x+y|=|x|+|y|$.

سيكون لدينا إذن ${Re(x{\bar {y}})}=|x||{\bar {y}}|$. حسب اللازمة، $|x||{\bar {y}}|$ هو عدد حقيقي موجب. يعني أن x و y لهما نفس العمدة.

إذن $\exists \theta \in \mathbb {R} ,x=|x|e^{\mathrm {i} \theta },y=|y|e^{\mathrm {i} \theta }$.

أخيرا، لدينا $\lambda x=\mu y$، مع $\lambda =|y|$ و $\mu =|x|$.

مراجع

Inégalité triangulaire-Wikimédia par moulin.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.

This article "متفاوتة مثلثية" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:متفاوتة مثلثية. Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• متفاوتة مثلثية in English