Geometric phase

قالب:رياضيات النسبية

في الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكمية، الطور الهندسي هو فرق في الطور يتم الحصول عليه عبر دورة، عندما يتعرض النظام إلى عمليات كاملة الحلقة، التي تنبعث من الخصائص الهندسية لفضاء المعلمات من الهاميلتوني. تم اكتشاف هذا الظاهرة بشكل مستقل من قبل إس. بانتشاراتنام (1956) في البصريات الكلاسيكية ومن قبل ه. س. لونجيت-هيغينز (1958) في فيزياء الجزيئات؛ وقد عممها مايكل بيري في (1984). وتُعرف أيضًا باسم طور بانتشاراتنام-بيري، طور بانتشاراتنام، أو طور بيري.

يمكن رؤية الطور الهندسي في تقاطع المخروطي لسطوح طاقة الكمون وفي تأثير أهارونوف-بوم. يناقش الطور الهندسي حول تقاطع المخروطي الذي يشمل الحالة الإلكترونية الأرضية لأيون جزيئي C₆H₃F₃⁺ في الصفحات 385–386 من الكتاب المدرسي لبانكر وجينسن. في حالة تأثير أهارونوف-بوم، يكون المعلم الكامل الحلقة هو المجال المغناطيسي المحيط بمساري تداخل، وهو دوري بالمعنى أن هذين المسارين يشكلان حلقة. في حالة التقاطع المخروطي، يكون المعلمات الكاملة الحلقة هي إحداثيات الجزيئات. بالإضافة إلى الميكانيكا الكمية، فإنه يظهر في مجموعة متنوعة من الأنظمة الموجية الأخرى، مثل البصريات الكلاسيكية. كقاعدة عامة، يمكن أن يحدث عندما يكون هناك على الأقل اثنان من المعلمات تميز بها موجة في منطقة من نوع ما من التفرد أو ثقب في الطبولوجيا؛ يتطلب الأمر معلمتين لأن إما مجموعة الحالات غير المتفردة لن تكون متصلة بشكل بسيط، أو سيكون هناك حلقة غير صفرية.

تتميز الأمواج بالسعة والطور، وقد تتغير كدالة لهذه المعلمات. يحدث الطور الهندسي عندما يتغير كلا المعلمتين في نفس الوقت ولكن ببطء شديد (كامل الحلقة)، وفي النهاية يتم إعادتها إلى التكوين الأولي. في الميكانيكا الكمية، قد يشمل ذلك دورانات ولكن أيضًا ترجمات الجسيمات، التي تُلغى ظاهريًا في النهاية. قد يتوقع المرء أن تعود الأمواج في النظام إلى الحالة الأولية، كما تم تحديدها بالسعات والأطوار (والأخذ بعين الاعتبار لمرور الوقت). ومع ذلك، إذا كانت رحلات المعلمات تقابل حلقة بدلاً من تغيير ذاتي للعودة والذهاب، فإنه من الممكن أن تختلف الحالات الأولية والنهائية في أطوارها. هذا الفرق في الطور هو الطور الهندسي، ويشير ظهوره عادة إلى أن تبعية معلمات النظام هي متفردة (حالته غير محددة) لبعض مجموعات المعلمات.

لقياس الطور الهندسي في نظام الموجات، يتطلب الأمر تجربة تداخل. بوصلة فوكو هي مثال من الميكانيكا الكلاسيكية التي تُستخدم أحيانًا لتوضيح الطور الهندسي. يُعرف هذا التمثيل الميكانيكي للطور الهندسي باسم زاوية هاناي.

الطور الهندسي في الميكانيكا الكمية

في نظام كمي في الحالة الذاتية الـ n، ترى التطور الكامل الحلقة للهاميلتوني أن النظام يبقى في الحالة الذاتية الـ n للهاميلتوني، بالإضافة إلى الحصول على عامل طور. يحتوي الطور المكتسب على مساهمة من تطور الحالة مع مرور الوقت ومساهمة أخرى من تغير الحالة الذاتية مع تغير الهاميلتوني. يتوافق المصطلح الثاني مع الطور الهندسي، ويمكن جعله يختفي باختيار مختلف للطور المرتبط بالحالات الذاتية للهاميلتوني في كل نقطة في التطور.

ومع ذلك، إذا كان التغيير دوريًا، فلا يمكن إلغاء الطور الهندسي؛ إنه مستقر ويصبح خاصية ملحوظة للنظام. عن طريق مراجعة إثبات مبرهنة العمليات الكاملة الحلقة التي قدمها ماكس بورن وفلاديمير فوك، في دورية فيزياء 51, 165 (1928)، يمكننا تحديد جميع التغييرات في العملية الكاملة الحلقة إلى مصطلح طور. في تقريب العمليات الكاملة الحلقة، يتم تحديد معامل الحالة الذاتية الـ n في العملية الكاملة الحلقة بواسطة

$$C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$$

حيث $\gamma _{n}(t)$ هو طور بيري بالنسبة للمعلم t. عن طريق تغيير المتغير t إلى معلمات عامة، يمكننا إعادة كتابة طور بيري على الشكل التالي

$$\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,$$

حيث $R$ يعامل العملية الكاملة الحلقة. يتبع مسارًا مغلقًا $C$ في فضاء المعلمات المناسب. يمكن أيضًا حساب الطور الهندسي على طول المسار المغلق $C$ عن طريق دمج انحناء بيري على سطح محيط بـ $C$.

أمثلة على الأطوار الهندسية

بوصلة فوكو

أحد أبسط الأمثلة هو بوصلة فوكو. يقدم ويلتشيك وشابيري شرحًا بسيطًا باستخدام الأطوار الهندسية:

قالب:Blockquote

بمعنى آخر، لا توجد قوى قصوى يمكن أن تجعل البوصلة تدور، لذا فإن الدوران (بالنسبة لاتجاه حركة مسار الذي تم حمل البوصلة عبره) هو بالكامل بسبب تدوير هذا المسار. لذا تخضع اتجاه البوصلة لنقل موازي. بالنسبة لبوصلة فوكو الأصلية، يكون المسار دائرة من دائرة العرض، وبناءً على مبرهنة غاوس-بونيه، يتم تحديد تغيير الطور بواسطة الزاوية الجسمية المحيطة.

الضوء المستقطب في ألياف بصرية

ثاني أمثلة هو الضوء المستقطب خطيًا الداخل إلى ألياف بصرية أحادية الوضع. فلنفترض أن الألياف تتبع مسارًا معينًا في الفضاء، ويخرج الضوء من الألياف في نفس اتجاه دخوله. ثم قارن الاستقطابات الأولية والنهائية. في التقريب الشبه كلاسيكي، تعمل الألياف كموجه، ويكون زخم الضوء في جميع الأوقات مماسًا للألياف. يمكن التفكير في الاستقطاب على أنه اتجاه معامد على الزخم. عندما تتبع الألياف مسارها، يتتبع متجه الزخم للضوء مسارًا على الكرة في فضاء الزخم. يكون المسار مغلقًا، لأن اتجاهات الضوء الأولية والنهائية تتطابق، ويكون الاستقطاب متجهًا مماسًا للكرة. لا توجد قوى يمكن أن تجعل الاستقطاب يدور، بل القيد للبقاء مماسًا للكرة. لذا يخضع الاستقطاب لنقل موازي، ويتم تحديد معدل التغيير بواسطة الزاوية الجسمية المحيطة (ضرب الدوران، الذي في حالة الضوء هو 1).

تأثير ضخ العشوائي

نظام ضخ عشوائي هو نظام عشوائي كلاسيكي يستجيب بتيارات غير صفرية، بالمتوسط، لتغييرات دورية للمعلمات. يمكن تفسير تأثير ضخ العشوائي باعتباره طورًا هندسيًا في تطور دالة توليد التيارات العشوائية.

الدوران قالب:1/2

يمكن تقييم الطور الهندسي بدقة لجسيم ذو دوران قالب:1/2 في مجال مغناطيسي.

=الطور الهندسي المعرف على الجاذبين

على الرغم من أن صياغة بيري الأصلية تم تعريفها للأنظمة الهاميلتونية الخطية، so it was soon realized by Ning and Haken that similar geometric phase can be defined for entirely different systems such as nonlinear dissipative systems that possess certain cyclic attractors. They showed that such cyclic attractors exist in a class of nonlinear dissipative systems with certain symmetries. There are several important aspects of this generalization of Berry's phase: 1) Instead of the parameter space for the original Berry phase, this Ning-Haken generalization is defined in phase space; 2) Instead of the adiabatic evolution in quantum mechanical system, the evolution of the system in phase space needs not to be adiabatic. There is no restriction on the time scale of the temporal evolution; 3) Instead of a Hermitian system or non-hermitian system with linear damping, systems can be generally nonlinear and non-hermitian.

التعرض في تقاطعات سطوح الكمون الكامل الحلقة للجزيئات

هناك عدة طرق لحساب الطور الهندسي في الجزيئات ضمن إطار بورن-أوبنهايمر. طريقة واحدة هي من خلال "مصفوفة الاقتران غير الكامل الحلقة $M\times M$" التي حددها M. باير (1975، 1980، 2000). يمكن استخدام الاقتران غير الكامل الحلقة لتعريف دائرة دورية، مماثلة لحلقة ويلسون (1974) في نظرية الحقل، التي طورها بشكل مستقل لإطار الجزيئات من قبل M. باير. إذا كان لدينا حلقة مغلقة $\Gamma$، معلمة بـ $R_{\mu }(t),$ حيث $t\in [0,1]$ هو معلم، و $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$. يتم تحديد مصفوفة D بواسطة

$$D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$$

(هنا ${\hat {P}}$ رمز ترتيب المسار). يمكن إظهار أنه عندما يكون M كبيرًا بما فيه الكفاية (أي عدد كافي من الحالات الإلكترونية مرئي)، تكون هذه المصفوفة قطرية، بالأطوار القطرية مساوية لـ $e^{i\beta _{j}},$ حيث $\beta _{j}$ هي الأطوار الهندسية المرتبطة بالحلقة للحالة الكمية الكاملة الحلقة الـ j .

للحالات الكمية الكاملة الحلقة المتناظرة زمنيًا، يعكس الطور الهندسي عدد تقاطعات المخروطي المحيطة بالحلقة. بشكل أكثر دقة،

$$e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$$

حيث $N_{j}$ هو عدد تقاطعات المخروطي التي تشمل الحالة الكاملة الحلقة $\psi _{j}$ المحيطة بالحلقة $\Gamma .$

بدلاً من نهج مصفوفة D، يمكن حساب الطور الهندسي للحالة الكاملة الحلقة الفردية مباشرةً من طور بانشاراتنام. في هذا النهج، يتم أخذ عدد $N+1$ من النقاط $(n=0,\dots ,N)$ على طول الحلقة $R(t_{n})$ مع $t_{0}=0$ و $t_{N}=1,$ ثم باستخدام فقط الحالة الكاملة الحلقة الـ j $\psi _{j}[R(t_{n})]$، يتم حساب منتج بانشاراتنام من التداخلات:

$$I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$$

في حد $N\to \infty$ يكون $I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$

الطور الهندسي وتكميم حركة السيكلوترون

يتعرض الإلكترون لمجال مغناطيسي $B$ إلى مدار دائري (سيكلوترون). لأغراض البساطة، نفترض أن الإلكترونات محصورة في مستوى، مثل 2DEG والمجال المغناطيسي عمودي على المستوى. كلاسيكيًا، يكون أي نصف قطر سيكلوترون $R_{c}$ مقبولًا. كميًا، يسمح فقط بمستويات طاقة متفرقة (مستويات لانداو)، وبما أن $R_{c}$ مرتبط بطاقة الإلكترون، فإن هذا يتوافق مع القيم المكممة لـ $R_{c}$. شرط الكم الطاقي المكتسب من حل معادلة شرودنغر يقرأ، على سبيل المثال، $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},$ $\alpha =1/2$ للإلكترونات الحرة (في الفراغ) أو ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ للإلكترونات في الغرافين، حيث $n=0,1,2,\ldots$. على الرغم من أن استنتاج هذه النتائج ليس صعبًا، إلا أن هناك طريقة بديلة لاستنتاجها، والتي تقدم في بعض الأحيان رؤية فيزيائية أفضل لكم المستويات لانداو. تعتمد هذه الطريقة البديلة على شرط كم شبه كلاسيكي لبور-سومرفيلد

$$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$$

التي تشمل الطور الهندسي $\gamma$ الذي يتم جمعه بواسطة الإلكترون أثناء تنفيذ حركته على طول الحلقة المغلقة من مدار السيكلوترون. للإلكترونات الحرة، $\gamma =0,$ بينما $\gamma =\pi$ للإلكترونات في الغرافين. يتضح أن الطور الهندسي مرتبط مباشرة بـ $\alpha =1/2$ للإلكترونات الحرة و $\alpha =0$ للإلكترونات في الغرافين.

انظر أيضًا

• موتر كرومة ريمان – للاتصال بالرياضيات
• اتصال بيري وانحناء
• فئة شيرن
• دوران بصري
• عدد لف

المراجع

قالب:Note لأغراض البساطة، نفترض أن الإلكترونات محصورة في مستوى، مثل 2DEG والمجال المغناطيسي عمودي على المستوى.

قالب:Note $\omega _{c}=eB/m$ هو تردد السيكلوترون (للإلكترونات الحرة) و $v$ هو سرعة فيرمي (للإلكترونات في الغرافين).

المصادر

• (See chapter 13 for a mathematical treatment)
• Connections to other physical phenomena (such as the Jahn–Teller effect) are discussed here: Berry's geometric phase: a review
• Paper by Prof. Galvez at Colgate University, describing Geometric Phase in Optics: Applications of Geometric Phase in Optics نسخة محفوظة 2007-08-24 على موقع واي باك مشين.
• Surya Ganguli, Fibre Bundles and Gauge Theories in Classical Physics: A Unified Description of Falling Cats, Magnetic Monopoles and Berry's Phase
• Robert Batterman, Falling Cats, Parallel Parking, and Polarized Light
• M. Baer, Electronic non-adiabatic transitions: Derivation of the general adiabatic-diabatic transformation matrix, Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, Existence of diabetic potentials and the quantization of the nonadiabatic matrix, J. Phys. Chem. A 104, 3181–3184 (2000).

القراءات الإضافية

• Michael V. Berry, The geometric phase, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

الروابط الخارجية

• قالب:Wikiquote-inline

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• Geometric phase in English